【重构线性代数】第4讲 给空间引入度量：度量空间、赋范线性空间、内积空间，双线性函数、矩阵合同、二次型
一、视频课程作者up主：@unidentified2015
二、本讲内容：
第4讲 概述给空间引入度量的各种方式。首先介绍空间三连：度量空间、赋范线性空间、内积空间。然后着重讨论实内积空间。讨论内积最重要的性质双线性，从而引出双线性函数、矩阵合同、二次型的概念。然后简述内积空间的研究内容。最后讨论其它域上的线性空间如何引入度量，从而介绍复内积空间、正交空间、辛空间。
三、课程简介：
随着时代的发展，代数学的研究内容发生了转变。现在的代数研究方向已经从解代数方程转换为研究代数结构了，也就是抽象代数（近世代数）。为此我们这个课程决定打破传统，不从解线性方程组的视角讲线性代数，而是从代数结构的角度让大家重新理解线性代数。课程主要但不限于以ppt形式展示，结合精美图像、动画等现代技术，精准可视化相关概念。尽可能多的分享作者自身理解。
四、主要参考资料：
《线性代数五讲》龚昇、《高等代数》丘维声、《线性代数应该这样学》Sheldon Axler、《代数》Michael Artin
五、课程大纲：
--上半场--
①线性空间（坐标化(基与维数)、子空间及其运算、同构、商空间、对偶空间）
②线性映射（运算与整体结构、核(零空间)与像(值域)、坐标化(矩阵表示)、矩阵相抵与相似、不变子空间、特征值与特征向量、零化多项式与最小多项式、Jordan标准型,有理标准型、对偶映射(伴随算子)）
--下半场--
①给空间引入度量（双线性函数、对称、斜对称、正交性、二次型、合同、各种空间、度量空间、赋范线性空间、(实/复)内积空间、正交空间、辛空间）
②与度量有关的线性映射（各种变换(算子)、正交投影、正规变换、正交变换、对称变换、酉变换、Hermite变换、辛变换、最小二乘、广义逆、极分解与奇异值分解、多重线性映射(张量)）
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