高一数学，数列问题
设函数f(x)=1/4(x)²+bx-3/4,无论角A,B为何实数,恒有f(cosA)≤0且f（2-sinB）≥0，对于正数数列{an}，其前项和Sn=f（an）（n∈N）1.求b值2.求数列{an}的通向公式3.问是否存在等比数列{bn}，使得a1b1+a2b2+……+anbn=2^(n+1)*(2n-1)+2对于一切正整数n都成立？并证明你的结论。【步骤啊，亲】
2个回答
一生的爱意
2025-07-06 14:30:24
解：
1.
-1≤cosA≤1，即在区间[-1，1]上，f(x)恒≤0；
-1≤sinB≤1，1≤2-sinB≤3，即在区间[1，3]上，f(x)恒≥0
又二次函数定义域为R，函数图像连续，x=1时，同时满足f(1)≤0，f(1)≥0，因此只有f(1)=0
1/4 +b-3/4=0
b=1/2
验证：此时f(x)=(1/4)x²+x/2 -3/4=(1/4)(x+1)² -1
对称轴x=-1，在区间[-1，3]上单调递增，又x=1时，f(x)=0，因此在区间[-1，1]上，f(x)恒≤0；在区间[1，3]上，f(x)恒≥0，满足题意。
b=1/2
2.
Sn=f(an)=(1/4)an²+an/2 -3/4
n=1时，a1=S1=(1/4)a1²+a1/2 -3/4
整理，得
a1²-2a1-3=0
(a1+1)(a1-3)=0
a1=-1(数列是正项数列，a1>0，舍去)或a1=3
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=(1/4)an²+an/2-3/4-(1/4)a(n-1)²-a(n-1)/2+3/4，整理，得
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
数列为正项数列，an+a(n-1)>0，因此只有an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2，为定值。数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列。
an=3+2(n-1)=2n+1
数列{an}的通项公式为an=2n+1。
3.
n=1时，a1b1=2²×(2×1-1)+2=6 b1=6/a1=6/3=2
n≥2时，
a1b1+a2b2+...+anbn=2^(n+1)×(2n-1)+2 (1)
a1b1+a2b2+...+a(n-1)b(n-1)=2ⁿ×[2(n-1)-1]+2 (2)
(1)-(2)，整理，得
anbn=2ⁿ×(2n+1)
bn=2ⁿ×(2n+1)/an=2ⁿ×(2n+1)/(2n+1)=2ⁿ
n=1时，b1=2，同样满足通项公式。
b(n+1)/bn=2^(n+1)/2ⁿ=2，为定值。数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列。
综上，得存在以2为首项，2为公比的等比数列{bn}满足题意。
1.
-1≤cosA≤1，即在区间[-1，1]上，f(x)恒≤0；
-1≤sinB≤1，1≤2-sinB≤3，即在区间[1，3]上，f(x)恒≥0
又二次函数定义域为R，函数图像连续，x=1时，同时满足f(1)≤0，f(1)≥0，因此只有f(1)=0
1/4 +b-3/4=0
b=1/2
验证：此时f(x)=(1/4)x²+x/2 -3/4=(1/4)(x+1)² -1
对称轴x=-1，在区间[-1，3]上单调递增，又x=1时，f(x)=0，因此在区间[-1，1]上，f(x)恒≤0；在区间[1，3]上，f(x)恒≥0，满足题意。
b=1/2
2.
Sn=f(an)=(1/4)an²+an/2 -3/4
n=1时，a1=S1=(1/4)a1²+a1/2 -3/4
整理，得
a1²-2a1-3=0
(a1+1)(a1-3)=0
a1=-1(数列是正项数列，a1>0，舍去)或a1=3
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=(1/4)an²+an/2-3/4-(1/4)a(n-1)²-a(n-1)/2+3/4，整理，得
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
数列为正项数列，an+a(n-1)>0，因此只有an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2，为定值。数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列。
an=3+2(n-1)=2n+1
数列{an}的通项公式为an=2n+1。
3.
n=1时，a1b1=2²×(2×1-1)+2=6 b1=6/a1=6/3=2
n≥2时，
a1b1+a2b2+...+anbn=2^(n+1)×(2n-1)+2 (1)
a1b1+a2b2+...+a(n-1)b(n-1)=2ⁿ×[2(n-1)-1]+2 (2)
(1)-(2)，整理，得
anbn=2ⁿ×(2n+1)
bn=2ⁿ×(2n+1)/an=2ⁿ×(2n+1)/(2n+1)=2ⁿ
n=1时，b1=2，同样满足通项公式。
b(n+1)/bn=2^(n+1)/2ⁿ=2，为定值。数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列。
综上，得存在以2为首项，2为公比的等比数列{bn}满足题意。
珍惜眼前人
2025-06-05 23:09:22
（1）因为AB可取任意值。令cosA=2-sinB，因为f(cosA)大于等于0而f(2-sinB)小于等于0，显然只有一种情况就是f(cosA)=f(2-sinB)=0，且由cosA=2-sinB推得出cosA=sinB=1才能满足等式，因为三角函数最大值只能到1，所以f(1)=0，即b=1/2。
（2）an=Sn-Sn-1，消掉整理得：an-an-1=2，因此an=a1+2n-2，通过递推式求出a1，取正为a1=3，因此an=2n+1
（3）假设Tn为anbn的前n项和，显然Tn=2^(n+1)*(2n-1)+2，因此Tn-Tn-1=anbn=2^n*(2n+1)，因此猜测bn=2^n，Tn的常数项有a1b1决定，因此需要验证n=1情况，当n=1时，a1b1=6，T1=6，相等，因此存在这样的等比数列bn=2^n。
（2）an=Sn-Sn-1，消掉整理得：an-an-1=2，因此an=a1+2n-2，通过递推式求出a1，取正为a1=3，因此an=2n+1
（3）假设Tn为anbn的前n项和，显然Tn=2^(n+1)*(2n-1)+2，因此Tn-Tn-1=anbn=2^n*(2n+1)，因此猜测bn=2^n，Tn的常数项有a1b1决定，因此需要验证n=1情况，当n=1时，a1b1=6，T1=6，相等，因此存在这样的等比数列bn=2^n。