原视频链接： 【沙盘详解：长征最惨痛一役 - 过湘江】 https://www.bilibili.com/video/BV1YA411i72J/?share_source=copy_web&vd_source=ae99f4bbd0e7bee51e301b92c11e82cf ❤感谢“天涯不远犹在眼前”的推荐支持！❤
一、视频课程作者up主：@unidentified2015 二、本讲内容： 第4讲 概述给空间引入度量的各种方式。首先介绍空间三连：度量空间、赋范线性空间、内积空间。然后着重讨论实内积空间。讨论内积最重要的性质双线性，从而引出双线性函数、矩阵合同、二次型的概念。然后简述内积空间的研究内容。最后讨论其它域上的线性空间如何引入度量，从而介绍复内积空间、正交空间、辛空间。 三、课程简介： 随着时代的发展，代数学的研究内容发生了转变。现在的代数研究方向已经从解代数方程转换为研究代数结构了，也就是抽象代数（近世代数）。为此我们这个课程决定打破传统，不从解线性方程组的视角讲线性代数，而是从代数结构的角度让大家重新理解线性代数。课程主要但不限于以ppt形式展示，结合精美图像、动画等现代技术，精准可视化相关概念。尽可能多的分享作者自身理解。 四、主要参考资料： 《线性代数五讲》龚昇、《高等代数》丘维声、《线性代数应该这样学》Sheldon Axler、《代数》Michael Artin 五、课程大纲： --上半场-- ①线性空间（坐标化(基与维数)、子空间及其运算、同构、商空间、对偶空间） ②线性映射（运算与整体结构、核(零空间)与像(值域)、坐标化(矩阵表示)、矩阵相抵与相似、不变子空间、特征值与特征向量、零化多项式与最小多项式、Jordan标准型,有理标准型、对偶映射(伴随算子)） --下半场-- ①给空间引入度量（双线性函数、对称、斜对称、正交性、二次型、合同、各种空间、度量空间、赋范线性空间、(实/复)内积空间、正交空间、辛空间） ②与度量有关的线性映射（各种变换(算子)、正交投影、正规变换、正交变换、对称变换、酉变换、Hermite变换、辛变换、最小二乘、广义逆、极分解与奇异值分解、多重线性映射(张量)）
学习如何在Godot教程中点亮美丽的场景。我们将点亮室内和室外场景，甚至将白天变成黑夜！ 原视频：https://youtu.be/aRdiiWpA0AA?si=g9NNELTbKhTPAS5z 完成的项目：https://github.com/Brackeys/3d-lighting-in-godot 幻想游戏客栈：https://sketchfab.com/3d-models/fantasy-game-inn-192bf30a7e28425ab385aef19769d4b0 模块化低多边形中世纪环境：https://sketchfab.com/3d-models/modular-lowpoly-medieval-environment-5bf0a1562b7e401e9e6d7758ec54d09c 相关文档： 3D 灯光和阴影中文文档：https://docs.godotengine.org/zh-cn/4.x/tutorials/3d/lights_and_shadows.html 全局光照简介中文文档：https://docs.godotengine.org/zh-cn/4.x/tutorials/3d/global_illumination/introduction_to_global_illumination.html
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