高斯函数曲线下的面积,为什么恰好等于圆周率的平方根?
视频内容简介:
设想一个函数 f(x)=e^{-x²},图像像一座对称的钟形曲线。我们想求曲线与 x 轴之间的总面积,即把 f(x) 从 −∞ 积到 +∞。常见的变量替换或分部积分都无效,可结果竟是 √π。诀窍在于把同一个积分写两遍相乘得到 i²,再把它改写成二维形式 ∬e^{−(x²+y²)} dx dy。看到 x²+y²,就会想到以原点为圆心的圆,于是换用极坐标:x=r cos θ,y=r sin θ,此时面积元变为 r dr dθ。令 θ 从 0 到 2π,r 从 0 到 ∞,可得 2π ∫₀^∞ e^{−r²} r dr。再设 u=r²,du=2r dr,式子化成 π ∫₀^∞ e^{−u} du,结果是 π。于是 i²=π,推出 i=√π。这样,一条看似与圆毫无关系的指数曲线下方的面积,竟然暗藏圆周率。
本视频翻译自:
https://www.youtube.com/watch?v=WjLRvF9bi5E
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