欧拉的天才时刻, 为何 ∑1/n² 恰好等于 π²/6 ？
视频简介：
这个故事从数学王子高斯的一个传奇童年趣事开始。小学时，他几乎瞬间算出了1加到100的和是5050。他用的方法巧妙无比：将数字首尾配对，每一对的和都是101，共有50对，所以50×101立刻得到答案。这种方法后来衍生出了求前n个数之和的通用公式：n(n+1)/2。
然而，这个故事引出了一个更深刻的问题：如果不是有限相加，而是把无穷多个数加起来，会怎样？比如，把所有的正整数相加（1+2+3+4+…），其和会趋于无穷大，我们称其为“发散”。
那么，如果加的是越来越小的数呢？比如“调和级数”（1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +…）。虽然每一项都在缩小，但14世纪的奥雷斯姆证明了它依然会发散到无穷大，只是速度非常缓慢。
这自然让数学家们思考：是否存在收敛的无穷级数？莱布尼茨首先给出了漂亮答案，他证明了“三角形数的倒数之和”（1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + …）精确地等于2。
但真正的圣杯是“巴塞尔问题”：所有平方数的倒数之和（1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …）等于多少？这个问题难倒了包括伯努利家族在内的所有天才。
最终，年轻的欧拉以一种惊天动地的方式解决了它。他大胆地将正弦函数写成了一个无穷多项式，并通过其根（π的整数倍）进行了因式分解。通过比较两种表达式，他最终得出：这个无穷和竟然等于圆周率π的平方除以6（π²/6）！
本视频翻译自：
https://www.youtube.com/watch?v=CC2DG391HmA
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